Ý nghĩa hình học của định lý Cauchy.

Biểu thức f ( b ) − f ( a ) b − a {\displaystyle {\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}} cho chúng ta hệ số góc của đường thẳng nối hai điểm ( a , f ( a ) ) {\displaystyle (a,f(a))} và ( b , f ( b ) ) {\displaystyle (b,f(b))} , trong khi f ′ ( x ) {\displaystyle f'(x)} là hệ số góc của tiếp tuyến của đường cong tại điểm ( x , f ( x ) ) {\displaystyle (x,f(x))} . Do đó định lý giá trị trung bình phát biểu rằng: cho một cung bất kì của một đường cong phẳng, trơn, ta có thể tìm được một điểm nằm giữa hai đầu cung sao cho tiếp tuyến tại điểm đó của cung song song với dây cung. Cách chứng minh sau đây mô tả ý tưởng này.

Đặt g ( x ) = f ( x ) − r x {\displaystyle g(x)=f(x)-rx} , với r {\displaystyle r} là một hằng số mà ta sẽ xác định sau. Vì f {\displaystyle f} liên tục trên [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} và khả vi trên ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} , điều tương tự cũng đúng với g {\displaystyle g} . Ta sẽ chọn r {\displaystyle r} sao cho g {\displaystyle g} thỏa mãn các điều kiện của định lý Rolle, tức là

g ( a ) = g ( b ) ⟺ f ( a ) − r a = f ( b ) − r b ⟺ r ( b − a ) = f ( b ) − f ( a ) ⟺ r = f ( b ) − f ( a ) b − a . {\displaystyle {\begin{aligned}g(a)=g(b)&\iff f(a)-ra=f(b)-rb\\&\iff r(b-a)=f(b)-f(a)\\&\iff r={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.\end{aligned}}}

Theo định lý Rolle, vì g {\displaystyle g} liên tục và g ( a ) = g ( b ) {\displaystyle g(a)=g(b)} nên tồn tại một điểm c {\displaystyle c} thuộc ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} sao cho g ′ ( c ) = 0 {\displaystyle g'(c)=0} . Khi đó, từ đẳng thức g ( x ) = f ( x ) − r x {\displaystyle g(x)=f(x)-rx} , ta có

f ′ ( c ) = g ′ ( c ) + r = r = f ( b ) − f ( a ) b − a . {\displaystyle f'(c)=g'(c)+r=r={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.}

Đây chính là điều phải chứng minh.